a= 通风的 (z)¶
a= 通风的 (k,z)¶
a= 通风的 (k,z,规模)¶
[a,ierr] = 通风的 (…)¶
计算第一类和第二类艾里函数及其导数。
K函数比例因子(如果规模为真)---------------------------------------------0 Ai(Z)exp((2/3)*Z*sqrt(Z)
函数调用通风的z)相当于airy(0,z).
可选的第三个输入规模确定是否应用如上所述的缩放。默认情况下为false。
结果a大小与相同z.
可选输出ierr包含以下状态信息,大小与结果相同。
NaN.
Inf.
NaN.
J= 贝塞尔吉 (阿尔法,x)¶
J= 贝塞尔吉 (阿尔法,x,opt)¶
[J,ierr] = 贝塞尔吉 (…)¶
计算第一类贝塞尔函数。
贝塞尔函数的阶阿尔法必须是真实的。积分预测x可能很复杂。
如果可选参数opt为1或true,则结果Ji乘以exp(-abs(imag(x))).
如果阿尔法是标量,结果大小与x如果x是标量,结果大小与阿尔法如果阿尔法是一个向量,并且x是列向量,结果是一个矩阵长x)行和长阿尔法)柱。否则阿尔法和x必须符合,结果将是相同的大小。
如果被指定,ierr包含以下状态信息,大小与结果相同。
NaN.
Inf.
NaN.
Y= 粗地 (阿尔法,x)¶
Y= 粗地 (阿尔法,x,opt)¶
[Y,ierr] = 粗地 (…)¶
计算第二类贝塞尔函数。
贝塞尔函数的阶阿尔法必须是真实的。积分预测x可能很复杂。
如果可选参数opt为1或true,则结果Yi乘以exp(-abs(imag(x))).
如果阿尔法是标量,结果大小与x如果x是标量,结果大小与阿尔法如果阿尔法是一个向量,并且x是列向量,结果是一个矩阵长x)行和长阿尔法)柱。否则阿尔法和x必须符合,结果将是相同的大小。
如果被指定,ierr包含以下状态信息,大小与结果相同。
NaN.
Inf.
NaN.
NaN.
我= 贝塞利 (阿尔法,x)¶
我= 贝塞利 (阿尔法,x,opt)¶
[我,ierr] = 贝塞利 (…)¶
计算第一类修正贝塞尔函数。
贝塞尔函数的阶阿尔法必须是真实的。积分预测x可能很复杂。
如果可选参数opt为1或true,则结果我i乘以exp(-abs(实数(x))).
如果阿尔法是标量,结果大小与x如果x是标量,结果大小与阿尔法如果阿尔法是一个向量,并且x是列向量,结果是一个矩阵长x)行和长阿尔法)柱。否则阿尔法和x必须符合,结果将是相同的大小。
如果被指定,ierr包含以下状态信息,大小与结果相同。
NaN.
Inf.
NaN.
NaN.
K= 贝塞尔克 (阿尔法,x)¶
K= 贝塞尔克 (阿尔法,x,opt)¶
[K,ierr] = 贝塞尔克 (…)¶
计算第二类修正贝塞尔函数。
贝塞尔函数的阶阿尔法必须是真实的。积分预测x可能很复杂。
如果可选参数opt为1或true,则结果Ki乘以exp(x).
如果阿尔法是标量,结果大小与x如果x是标量,结果大小与阿尔法如果阿尔法是一个向量,并且x是列向量,结果是一个矩阵长x)行和长阿尔法)柱。否则阿尔法和x必须符合,结果将是相同的大小。
如果被指定,ierr包含以下状态信息,大小与结果相同。
NaN.
Inf.
NaN.
NaN.
H= 贝塞尔 (阿尔法,x)¶
H= 贝塞尔 (阿尔法,k,x)¶
H= 贝塞尔 (阿尔法,k,x,opt)¶
[H,ierr] = 贝塞尔 (…)¶
计算第三类贝塞尔函数(Hankel函数)。
贝塞尔函数的阶阿尔法必须是真实的。Hankel函数的类型从指定k并且可以是第一个(k=1)或秒(k2.默认为第一种Hankel函数。评估要点x可能很复杂。
如果可选参数opt为1或true,则结果乘以exp(-I*x)对于k=1或exp(I*x)对于k2.
如果阿尔法是标量,结果大小与x如果x是标量,结果大小与阿尔法如果阿尔法是一个向量,并且x是列向量,结果是一个矩阵长x)行和长阿尔法)柱。否则阿尔法和x必须符合,结果将是相同的大小。
如果被指定,ierr包含以下状态信息,大小与结果相同。
NaN.
Inf.
NaN.
NaN.
y= 贝塔 (a,b)¶
计算实际输入的贝塔函数a和b.
Beta函数的定义是
β(a,b)=伽马(a)*伽马(b)/伽马(a+b)。
Beta函数可能会变得很大,使用输出的对数通常比直接使用函数更有用。详见β,用于以有效的方式计算Betafunction的对数。
我= β (x,a,b)¶
我= β (x,a,b,尾)¶
计算不完全贝塔函数。
这被定义为
x/1|I_x(a,b)=----------------|t^(a-1)(1-t)^(b-1)dtβ
与真实x在[0,1]的范围内。输入a和b必须是真实的且严格正的(>0)。如果其中一个输入不是标量,那么其他输入必须是标量或具有兼容维度。
默认情况下,尾是lower和从0到积分的不完全贝塔函数x计算。如果尾是upper则互补函数从x计算为1。这两个选择的关系如下
β(x,a,b,upper)=1-β(x,a,b,lower).
β当lower值很小。
参考文献:A.Cuyt,V.Brevik Petersen,B.Verdonk,H.Waadeland,W.B.Jones,特殊函数的连分式手册,ch。18.
x= β (y,a,b)¶
x= β (y,a,b降低¶
x= β (y,a,b上面的¶
计算归一化不完全贝塔函数的逆。
归一化不完全贝塔函数定义为
x/1|I_x(a,b)=----------------|t^(a-1)(1-t)^(b-1)dtβ
如果两个输入是标量,那么β(y,a,b)对于其他输入中的每一个返回。
如果两个或多个输入不是标量,则它们的大小必须一致,并且β按元素应用。
变量y必须在区间[0,1]内,而a和b必须是真实的,严格意义上是积极的。
默认情况下,尾是lower以及从0到积分的不完全贝塔函数的逆x计算。如果尾是upper则互补函数从x到1被反转。
该函数通过标准牛顿法计算,通过求解
y-β(x,a,b) = 0
lnb= β (a,b)¶
计算实际输入的贝塔函数的自然对数a和b.
β定义为
βln(a,b)=对数(β(a,b))
并且以减少下溢的发生的方式进行计算。
Beta函数可能会变得很大,使用输出的对数通常比直接使用函数更有用。
b= bincoeff (n,k)¶
返回的二项式系数n和k.
二项式系数定义为
/(n-1)(n-2)。。。(n-k+1)||=-------------------------|k|k！\/
例如
bincoeff(5,2)⇒ 10
在大多数情况下恩丘塞克函数对于小标量整数参数更快。它还警告说,这些参数会失去准确性。
详见: 恩丘塞克.
k= 换向矩阵 (m,n)¶
返回唯一的换向矩阵K(m,n)m*n通过m*n矩阵,使得K(m,n)*vec(A)=vec(A')为所有人m通过n矩阵A..
如果只有一个参数m给出,K(m,m)返回。
参见Magnus和Neudecker(1988),矩阵微分学及其在统计学和计量经济学中的应用.
y= 舒适的 (x)¶
计算余弦积分函数:
+oo/Ci(x)=-|(cos(t))/t dt/x
等效的定义是
x/|cos(t)-1Ci(x)=伽玛+对数(x)+|---------------dt|t/0
参考
M.Abramowitz和I.A.Stegun,数学函数手册, 1964.
d= 重复矩阵 (n)¶
返回重复矩阵Dn哪一个是独一无二的N^2通过N*(N+1)/2矩阵,使得Dn*vech(A)=vec(A)对于所有对称N通过N矩阵A..
参见Magnus和Neudecker(1988),矩阵微分学及其在统计学和计量经济学中的应用.
v= 道森 (z)¶
计算Dawson(缩放虚差)函数。
Dawson函数定义为
(sqrt(pi)/2)*exp(-z^2)*erfi(z)
[sn,cn,dn,犯错误] = ellipj (u,m)¶
[sn,cn,dn,犯错误] = ellipj (u,m,tol)¶
计算Jacobi椭圆函数sn,cn和dn复杂参数u和实参数m.
如果m是标量,结果大小与u如果u是标量,结果大小与m如果u是列向量,并且m是一个行向量,结果是矩阵长u)行和长m)柱。否则u和m大小必须一致,结果将与输入大小相同。
的值u可能很复杂。的值m必须为0≤m≤ 1.
可选输入tol当前被忽略(MATLAB使用这个来允许更快、更不精确的近似)。
如果被指定,犯错误包含以下状态信息,大小与结果相同。
NaN.
参考文献:Milton Abramowitz和Irene A Stegun,数学函数手册,第16章(第16.4、16.13和16.15节),多佛,1965年。
详见: ellipke.
k= ellipke (m)¶
k= ellipke (m,tol)¶
[k,e] = ellipke (…)¶
计算第一个K的完全椭圆积分(m)和第二个E(m友善的
m必须是标量或实数数组,其中-Inf≤m≤ 1.
可选输入tol控制算法的停止容差,并默认为eps(类(m))可以增加公差以计算更快、更不精确的近似值。
当用一个输出调用时,只返回第一类椭圆积分。
数学注释:
第一类椭圆积分定义为
1/dtK(m)=|------------------------------/sqrt((1-t^2)*(1-m*t^2))0
第二类椭圆积分定义为
1/sqrt(1-m*t^2)E(m)=|----------------dt/sqrt(1-t^2)0
参考文献:Milton Abramowitz和Irene A.Stegun,数学函数手册,第17章,多佛,1965年。
详见: ellipj.
v= erf (z)¶
计算误差函数。
错误函数定义为
z 2/erf(z)=--------*|e^(-t^2)dt-sqrt(pi)/t=0
y= expint (x)¶
计算指数积分。
指数积分定义为:
+oo/|exp(-t)E_1(x)=|--------dt|t/x
注意:为了兼容性,此函数使用MATLAB指数积分的定义。大多数其他来源将此特殊值称为E_1(x),以及指数积分为
+oo/|exp(-t)Ei(x)=-|--------dt|t/-x
这两个定义是相关的,对于的正实数x通过E_1(-x)=-Ei(x)-i*pi.
参考文献:
M.Abramowitz和I.A.Stegun,数学函数手册, 1964.
N.Bleistein和R.A.Handelsman,积分的渐近展开式, 1986.
v= 伽玛 (z)¶
计算Gamma函数。
Gamma函数定义为
无穷大/伽玛(z)=|t^(z-1)exp(-t)dt。/t=0
编程注意事项:即使输入值很小,gamma函数也会增长得很大。在许多情况下,最好使用伽玛函数的自然对数(gammaln)以将精度损失降至最低。最终结果是exp(result_using_gammaln).
y= gammainc (x,a)¶
y= gammainc (x,a,尾)¶
计算归一化的不完全伽玛函数。
这被定义为
x 1/gammainc(x,a)=--------|exp(-t)t^(a-1)dt gamma(a)/t=0
极限值1为x接近无穷大。标准符号为P(a,x)例如,Abramowitz和Stegun(6.5.1)。
如果a是标量,则gammainc(x,a)为的每个元素返回x反之亦然。
如果两者都没有x也没有a是标量,那么的大小x和a必须同意,以及gammainc按元素应用。的元素a必须是非负数。
默认情况下,尾是lower和从0到积分的不完全伽玛函数x计算。如果尾是upper则互补函数从x计算到无穷大。
如果尾是“较低比例”,则下不完全gamf函数乘以gamma(a+1)*exp(x)/(x^a)如果尾是“缩放器”,则上不完全gamma函数乘以相同的量。
参考文献:
M.Abramowitz和I.A.Stegun,数学函数手册,多佛出版社,股份有限公司,1972年。
W.Gautschi,不完全伽玛函数的一个计算过程,ACM Trans。数学软件,第466–481页,第5卷,2012年第4期。
W.H.出版社、S.A.Teukolsky、W.T.Vetterling和B.P.Flannery,Fortran 77中的数字公式,第1卷,第6.2章,1992年。
详见: 伽玛,gammaincinv,gammaln.
x= gammaincinv (y,a)¶
x= gammaincinv (y,a,尾)¶
计算归一化不完全伽玛函数的逆。
归一化不完全伽玛函数定义为
x 1/gammainc(x,a)=--------|exp(-t)t^(a-1)dt gamma(a)/t=0
和gammaincinv(gammainc(x,a),a) =x的每个非负值x如果a是标量,则gammaincinv(y,a)为的每个元素返回y反之亦然。
如果两者都没有y也没有a是标量,那么的大小y和a必须同意,以及gammaincinv按元素应用。变量y必须在间隔中[0,1]虽然a必须是真实和积极的。
默认情况下,尾是lower和从0到积分的不完备伽马函数的逆x计算。如果尾是upper,则互补函数集成自xtoinfinity反转。
函数是用牛顿法通过求解
y-gammainc(x,a) = 0
参考文献:A.Gil、J.Segura和N.M.Temme,计算和反演不完全矩函数比的高效准确算法,SIAM J.Sci。《计算》,A2981,A22965页,第34卷,2012年。
l= legendre (n,x)¶
l= legendre (n,x,规范化)¶
计算相关的勒让德度函数n和秩序m= 0 …n.
价值n必须是实的非负整数。
x是实值元素在[-1,1]范围内的向量。
可选参数规范化可能是其中之一“unnorm”,“sch”或norm。如果没有规范化,则默认为givenis“unnorm”.
当可选参数规范化是“unnorm”,计算相关的勒让德度函数n和秩序mandrew返回的所有值m= 0 …n。返回值的一维数超过x.
度的相关勒让德函数n和秩序m:
m m 2 m/2 d^mP(x)=(-1)*(1-x)*----P(x)n dx^m n
具有勒让德次数多项式n:
1 d^n 2 nP(x)=------[-(x-1)]n 2 ^n n！dx^n
legendre(3,[-1.0,-0.9,-0.8])返回矩阵:
x |-1.0 |-0.9 |-0.8------------------------------m=0 |-1.00000 |-0.47250 |-0.08万m=1 | 0.00000 |-1.99420 |-1.98万m=2 | 0.00000 |-2.56500 |-4.32万m=3 | 0.00000
当可选参数规范化是“sch”,计算了Schmidt半归一化关联勒让德函数。Schmidtsemi规范化的相关Legendre函数与未规范化的Legendre函数的关系如下:
对于勒让德度函数n和订单0:
0 0SP(x)=P(x)n
对于n阶和m阶的勒让德函数:
m m m 2(n-m)！0.5SP(x)=P(x)*(-1)*[-----]n n(n+m)！
当可选参数规范化是norm,计算了完全归一化的相关勒让德函数。完全规范化的关联Legendre函数通过以下方式与未规范化的相关Legendre函数相关:
对于勒让德度函数n和秩序m
m m m(n+0.5)(n-m)！0.5NP(x)=P(x)*(-1)*[------------]n n(n+m)！
y= 磅/平方英寸 (z)¶
y= 磅/平方英寸 (k,z)¶
计算psi(polygamma)函数。
polygamma函数是kγ函数对数的第th导数。如果未指定,k默认为零。值为0计算digamma函数,值为1计算trigamma函数,依此类推。
digamma函数定义如下:
psi(z)=d(log(gamma(z)))/dx
计算digamma函数时(当k等于零),z可以具有任何实际值或复杂值。然而,对于polygamma函数(k高于0),z必须是真实的和非负面的。
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